Annoncée lundi par M. Abadi, l'offensive pour la reprise de cette ville de la province à majorité sunnite d'Al-Anbar, située à une cinquantaine de kilomètres à l'ouest de Bagdad, a déjà permis de prendre le contrôle de la localité proche de Karma.
"Les forces fédérales ont avancé vers l'est de Fallouja tôt ce matin depuis trois directions", a affirmé à l'AFP le capitaine de police Raed Shaker Jawdat.
Les forces paramilitaires des Hached al-Chaabi (Mobilisation populaire), constituées principalement de milices chiites, ont également gagné du terrain au sud de la ville.
Le Conseil norvégien pour les réfugiés (NRC) estime qu'il y a encore environ 50.000 personnes dans cette ville conquise par l'EI en janvier 2014, avant même l'offensive fulgurante en juin de la même année qui a permis aux jihadistes de s'emparer de vastes territoires au nord et à l'ouest de Bagdad.
"Les familles qui manquent depuis des mois de nourriture et de médicaments risquent de se retrouver otages des affrontements et il est absolument vital qu'elles puissent disposer de couloirs sûrs pour fuir", a affirmé Nasr Muflahi, chef du NRC pour l'Irak.
Il a indiqué à l'AFP qu'aucune famille n'avait réussi à fuir la ville depuis le début de l'offensive des forces irakiennes.
Des responsables provinciaux ont eux affirmé qu'un petit nombre d'habitant avait réussi à s'échapper.
L'EI "impose un couvre-feu, empêchant les gens d'aller dans les rues", a confié par téléphone à l'AFP un habitant qui se présente comme Abou Mohammed al-Doulaimi.
"Le nombre de combattants jihadistes a diminué, et nous les voyons marcher dans les rues par groupes de deux ou trois. Nous ne savons pas où se trouvent les autres", a-t-il ajouté.
- 'Répit temporaire' pour Abadi -
Cette opération militaire contre un bastion jihadiste a accordé à M. Abadi un moment de répit politique et éloigne l'attention de ses échecs à répétition à mettre en place les réformes réclamées depuis des semaines par des milliers d'Irakiens, alors que les partis politiques lui mettent des bâtons dans les roues.
Vêtu de l'uniforme noir des forces spéciales, M. Abadi se présente comme le commandent en chef de l'offensive contre les extrémistes de l'EI, très loin de l'image d'un Premier ministre dont les bureaux ont été envahis quelques jours auparavant par une foule de manifestants en colère.
Après la visite de M. Abadi au centre de commandement des opérations pour la reprise de Fallouja, des photos accompagné de chefs militaires ont été postées sur son compte Twitter avec la mention: "Le Premier ministre supervise et dirige les batailles".
L'opération à Fallouja "n'offre pas seulement à Abadi un moyen de diversion" mais, si elle est bien exécutée, "peut également lui permettre de démontrer qu'un certain degré de contrôle (existe) à Bagdad", estime Patrick Skinner, consultant pour le cabinet Soufan Group spécialisé dans le renseignement.
"Cela n'équivaut pas à de la bonne gouvernance, mais il (M. Abadi) a besoin de tout ce qu'il peut obtenir en ce moment", ajoute-t-il.
Pour Zaïd al-Ali, chercheur à l'université américaine de Princeton, le répit dans la crise politique "est, au mieux, temporaire" pour le Premier ministre.
"Indépendamment du succès de cet assaut sur Fallouja, les Irakiens ne vont pas renoncer à leur revendication de réformes", soutient-il.
Mais pour M. Abadi, même un répit temporaire est bon à prendre.
Vendredi, des partisans du dignitaire chiite Moqtda Sadr avaient réussi à braver toutes les mesures de sécurité et à s'introduire dans la Zone verte ultrasécurisée de la capitale, occupant brièvement le bureau du Premier ministre, comme ils l'avaient fait au Parlement fin avril.
Deux d'entre eux ont été tués et près d'une soixantaine blessés par les forces de l'ordre.
Les manifestants réclament depuis des semaines un nouveau gouvernement, composé de technocrates et capable de mettre en place des réformes pour lutter contre la corruption, le népotisme et le clientélisme.
Mais de nombreux hommes politiques s'y opposent, redoutant la fin d'un système qui leur assure de nombreux privilèges.
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